WO2004053741A1

WO2004053741A1 - 三角形と線分の交点計算方法とそのプログラム

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Publication number: WO2004053741A1
Application number: PCT/JP2003/015586
Authority: WO
Inventors: Shugo Usami; Kiwamu Kase
Original assignee: Riken
Priority date: 2002-12-06
Filing date: 2003-12-05
Publication date: 2004-06-24
Also published as: CN102156773A; EP1569143A1; CN1717688A; JPWO2004053741A1; EP1569143A4; US20050283513A1; US7187390B2; JP4526121B2

Abstract

Ｐ０，Ｐ１，Ｐ２を３頂点とする三角形と、Ａ，Ｂを結ぶ線分との交点を計算する方法。Ｐ０を原点、Ｐ０Ｐ１を第一軸（Ｕ軸）の単位長さ、Ｐ０Ｐ２を第二軸（Ｖ軸）の単位長さ、Ｐ０Ｐ１×Ｐ０Ｐ２の単位ベクトルを第三軸（Ｎ軸）とする座標系Ｒを設定し、通常の座標系での点の座標を座標系Ｒの座標値に変換する変換マトリックスＭを計算し、線分の両端Ａ，Ｂのｕ，ｖ，ｎ座標値を演算する。また、両端Ａ，Ｂのｕ，ｖ，ｎ座標値から三角形との交差の有無を判断し、交差する場合にその交点のｕ，ｖ座標値を演算し、交点のｕ，ｖ座標値から三角形内の交点の有無を判断する。

Description

明細書三角形と線分の交点計算方法とそのプログラム発明の背景発明の技術分野

本発明は、三角形と線分の交点計算方法とそのプログラムに関する。関連技術の説明

形状と物性を統合した実体データを小さい記憶容量で記憶することができ、これにより、物体の形状 ·構造 ·物性情報 ·履歴を一元的に管理し、設計から加工、組立、試験、評価など一連の工程に関わるデータを同じデータで管理することができ、 CADとシミュレーションを一元化することできる実体データの記憶方法として、 [特許文献 1] が開示されている。

【特許文献 1】

特開 2002— 230054号公報

[特許文献 1] の「形状と物性を統合した実体データの記憶方法」は、図 1に示すように、外部データ入力ステップ（A) 、八分木分割ステップ（B) 、及びセルデータ記憶ステップ（C) からなり、外部データ入力ステップ（A) では、外部データ取得ステップ S 1で取得した対象物の境界データからなる外部データ 1 2をこの発明の方法を記憶したコンピュータ等に入力し、八分木分割ステップ (B) では、外部データ 1 2を八分木分割により境界平面が直交する直方体のセルに分割し、セルデ一夕記憶ステップ（C) では、各セル毎に種々の物性値を記憶するものである。

上述した [特許文献 1] の発明は、対象物の形状データからなる外部デ一夕を、八分木分割により境界平面が直交する直方体のセルに分割し、各セル毎に種々の物性値を記憶するものである。分割された各セルは対象物の内側に位置する内部セルと、境界面を含む境界セルとからなる。また、内部セルは、属性として 1種の物性値を持ち、境界セルは、対象物の内側と外側の 2種の物性値をもつものである。

以下、この方法によるデータを「V— CADデータ」と呼び、このデータを用いた設計やシミュレーションを「ボリユーム CAD」又は「V— CAD」と呼ぶ。図 1において 14が V— C ADデータである。

図 2は、 [特許文献 1 ] に基づいて外部データから V— CADデータを作成する手順を示す図である。この図に示すように、 S- C ADデータや三角形パッチデータに対して、 S TE P- 1でポクセル空間を定義し、 STE P- 2で幾何形状と各セルの稜線との交点計算（セル切断点の取得）を行い、 STEP- 3でセル毎の切断点情報からセル内面の外周ループを作成し、 S TE P- 4で元の幾何形状を参照しつつ外周ループ内を三角形分割し、 S TEP- 5でセルの媒質値を設定することで、 V— C ADデータが作成される。

上述した [特許文献 1 ] の方法では、図 1の八分木分割ステップ（B) 、および図 2の STEP- 2において、外部データである幾何形状を定義する三角形と各セルの稜線である線分との交点を求める計算を操り返し膨大な回数行う必要が生じる。

かかる三角形と線分との交点計算方法として、従来から、 [非特許文献 1] 〜 [非特許文献 3] が知られている。

【非特許文献 1】

Mo l l e rの方法 (J o u r n a l o f g r a p h i c s t o o l s, 2 (1) : 2 1-28 1 997) .

【非特許文献 2】

B a d o u e lの方法 (G r a p h i c Gems , Ac a d em i c P r e s s P 2 1-28 1 990) .

【非特許文献 3】

C omp u t a t i o n a l Ge ome t r y i n C ： J o s e ph O'R o u r k e/C amb r i d g e Un i v e r s i t y P r e s s P 239)

三角形と線分との交点計算については、さまざまな方法が存在しており、その多くは無限平面と無限直線との交点を計算し、その交点が平面内の閉領域としての三角形内に含まれているか否かを判断する方法である。そのような方法は計算コストが高く、 V-CADシステムで今後推定されるように、多数回の計算を繰り返す場合の改善策が必要であった。

[非特許文献 1 ] の Mo 1 1 e rの方法では、 [数 2] の式（ 1 ) のべクトル計算式を利用することで、比較的低コストで計算が可能である。

【数 2】

(尸 X尸 ₂ 尸

(尸 X ?尸 ₂)·尸

Pl、 P₂、 P3、 Plin 三角形の頂点、線分の始点

Voir 線分の方向べクトル

t 線分中でのパラメータ

三角形内でのパラメータ

しかし、この方法においては、同一の三角形に対して異なる複数の線分との交点を求める際にも、全ての計算式を改めて計算する必要があるため、「同一の三角形」という条件下で交点計算のメリットが発生せず、高速化を図ることが困難であるという問題点があつた。

[非特許文献 2] の B a d o u e 1の方法では、図 3において、平面の基準点 P p , _nと法線べ-クトル V_{N rm}、直線の基準点 P L , _ηを利用して以下ように求める。

[数 3] の式（2) として、直線の基準点と平面の距離は d s t =V_{N rm} - V

P n t (V_Nrmは単位ベクトル）で求まるので、交点の座標は P _{I n t} = P_{L i n} + V_L _{l n} · d s t/ (V_{L l n} - V_Nrm) で計算できる。

続いて、三角形の各頂点、および平面と直線の交点を座標平面（xy平面、 y z平面、 z x平面）のいずれかに投影し、この平面上で、 [数 3] の式（3) となる α、 3を計算する。

α、）3の計算方法は、図 4において、 X y平面上に投影した場合、 P i (x ₁₅ y i» z i) 、 P 2 ( 2. y 2. z ₂) 、 P a (x ₃, y 3 , z ₃) 、 P _{r n t} (x, y , z) として、各頂点の Z座標を省略した一次変換の式（ [数 3] の式（4) ) の逆変換を作成すればよい

【数 3】

(3)

無限平面と直線の交点計算の方法は B a d o u e 1の方法で記述したものと同じであるが、 ^点と三角形の内外判定方法には他にも以下の様な方法が挙げられる。

[非特許文献 3] の角度を計算する方法では、図 5 Aと図 5 Bにおいて、個々の頂点に向けたべクトル同士の内積をそれぞれ取り、それから求めた角度の和が 0となるか、 360度となるかによつて判断する。すなわち、図 5 Aでは式（5) が成り立ち、図 5 Bでは式（6) が成り立つ。

Θ 12 + ^ 23 + ^ 31= 0 · · · (6)

その他に、図 6 Αと図 6 Βに示すように、交点から三角形に各頂点に向けたベクトルの外積を [数 4] の式（7) で求め、これらが同じ方向を向くか否かで判断する外積を利用する方法もある。

【数 4】

図 6 Aでは、 V_{Nrml 2}、 V_Nrm23、 V_Nrm31、とも同じ方向を向き、図 6 B では、 V_Nrm31は逆方向を向く。

ただし、外積を利用する方法では、明らかに計算負荷がかかることが予想される。上述したように、従来の三角形と線分との交点計算手段では、同一の三角形に対して異なる複数の線分との交点を求める場合に、その都度ほとんど全ての計算式を改めて計算する必要があるため、全体として計算時間が長くなり、高速化を図ることが困難であるという問題点があった。発明の要約本発明は、かかる問題点を解決するために創案されたものである。すなわち、本 ¾明の目的は、同一の三角形に対して異なる複数の線分との交点を求める場合に、計算時間を短縮し高速化を図ることができる三角形と線分の交点計算方法とそのプログラムを提供することにある。

本発明によれば、 Ρ₀， Ρ,, Ρ₂を 3頂点とする三角形と、 Α， Βを結ぶ線分との交点を計算する方法において、 Ρ。を原点、 P。P iを第一軸（U軸) の単位長さ、 P。P₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 PcP iXPcPsの単位ベクトルを第三軸（N軸）とする座標系 Rを設定する座標系設定ステップ（A) と、通常の座標系での点の座標を座標系 Rの座標値に変換する変換マトリックス Mを計算する変換マトリックス計算ステップ（B) と、線分の両端 A, Bの u， V , n座標値を演算する線分端座標演算ステップ（C) と、両端 A， Bの u， v. n座標値から三角形との交差の有無を判断する交差判断ステップ（D) と、交差する場合にその交点の u, V座標値を演算する交点座標演算ステップ（E) と、交点の u， V座標値から三角形内の交点の有無を判断する交点判断ステップ（F) と、を備えることを特徵とする三角形と線分の交点計算方法が提供される。

また、本発明によれば、コンピュータに、 P。， Pい P₂を 3頂点とする三角形と、 A， Bを結ぶ線分との交点を計算させるためプログラムであって、 P。を原点、 P。P iを第一軸（U軸）の単位長さ、 P。P₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 Pc PiX PcPzの単位ベクトルを第三軸（N軸）とする座標系 Rを設定する座標系設定ステップ（A) と、通常の座標系での点の座標を座標系 Rの座標値に変換する変換マトリックス Mを計算する変換マトリックス計算ステップ（B) と、線分の両端 A， Bの u, V , n座標値を演算する線分端座標演算ステップ（C) と、両端 A, Bの u, v， n座標値から三角形との交差の有無を判断する交差判断ステップ（D) と、交差する場合にその交点の u, V座標値を演算する交点座標演算ステップ（E) と、交点の u, V座標値から三角形内の交点の有無を判断する交点判断ステップ（F) と、を実行させるためのプログラムが提供される。上記本発明の方法とプログラムによれば、同一の三角形に対して異なる複数の線分との交点を求める場合に、同一の三角形に対する変換マトリックス Mは、常に同一であり、異なる複数の線分に対して、線分端座標演算ステップ（C) を行うだけで、線分の両端 A， Bの u， V , n座標値を演算することができる。従つて、従来の方法に比べて、異なる線分に対して再計算が少なくなり、計算時間を短縮し高速化を図ることができる

本発明の好ましい実施形態によれば、前記変換マトリックス計算ステップ（B) において、変換マトリックス Mは、 A f f i n e変換マトリックスである。

A f f i n e変換マ卜リックスにより、三角形に対して変換マトリックス Mを短時間に容易に計算することができる。

また、線分端座標演算ステップ（C) において、 u， v. n座標値を式（8) で求める、

P_UVN = MP_xyz · · ' (8) 。

式（8) により、異なる複数の線分に対して、線分の両端 A， Bの u， V , n 座標値を短時間に容易に計算することができる。

また、交差判断ステップ（D) において、（1) 片方の点の n座標が線分の長さ以上であれば交点無しと判断し、及び/又は、（2) 2点の n座標が同符号であれば交点なし、異符号であれば交点ありと判断する。

この判断により、交点の有無を、容易かつ短時間に判断できる。

また、交差判断ステップ（D) において、（1) 2点とも u座標が 0以下又は 1以上、（2) 2点とも V座標が 0以下、又は（3) 2点とも u座標 + v座標が 1以上の場合、交点は三角形外と判断する。

この手段により、交点となりうる点と三角形との内外判定を、容易かつ短時間にでき、実際の交点を求める以前に、明らかに三角形内に交点を持たない線分を除外し、不必要な計算を省略することができる。また、交点座標演算ステップ（E ) において、両端 A， Bの n座標の値で内分した点を交点とし、その u， V座標値を演算する。

この手段により、交点の u， V座標値を、容易かつ短時間に、計算できる。また、交点判断ステップ（F ) において、交点の u , V座標値が、 [数 1 ] の式（1 3 ) を満たす場合に、三角形の内部と判断する。

この手段で、交点と三角形との内外判定を、容易かつ短時間にでき、実際の交点を求める以前に、三角形内に交点を持たない線分を除外し、不必要な計算を省略することができる。

本発明のその他の目的及び有利な特徴は、添付図面を参照した以下の説明から明らかになろう。

図面の簡単な説明図 1は、先行出願の実体データの記憶方法のフロー図である。

図 2は、先行出願の実体データの記憶方法の別のフロー図である。

図 3は、従来の方法を示す模式図である。

図 4は、従来の方法を示す別の模式図である。

図 5 Aと図 5 Bは、従来の方法を示す別の模式図である。

図 6 Aと図 6 Bは、従来の方法を示す別の模式図である。

図 7は、本発明の方法を実行するための装置の構成図である。

図 8は、本発明の方法とそのプログラムのフロ一図である。

図 9は、本発明による座標系 Rを示す模式図である。

図 1 0は、本発明による処理方法を具体的に示すフロチャ一トである。

図 1 1は、本発明の第 1の実施例を示すフロー図である。

図 1 2は、入力三角形の表示を示す画像である。

図 1 3は、セルとセル内面で構成される V- C A Dデータを示す画像である。図 1 4は、入力デ一夕とセル稜線の交点計算により発生したセル切断点を示す画像である。

図 1 5は、本発明の第 2の実施例を示すフロー図である。

図 1 6は、形状変換処理後の V-C A Dデータを示す画像である。好ましい実施例の説明以下、本発明の好ましい実施形態を図面を参照して説明する。

図 7は、本発明の方法を実行するための装置構成図である。この図に示すように、この装置 10は、入力装置 2、外部記憶装置 3、内部記憶装置 4、中央処理装置 5および出力装置 6を備える。

入力装置 2は、例えばキーボードであり、対象物 1の形状データからなる外部データ 1 2を入力する。外部記憶装置 3は、ハードディスク、フロピイーディスク、磁気テープ、コンパクトディスク等であり、形状と物理量を統合した実体デ一夕とその記憶演算プログラムを記憶する。内部記憶装置 4は、例えば RAM, ROM等であり、演算情報を保管する。中央処理装置 5 (CPU) は、演算や入出力等を集中的に処理し、内部記憶装置 4と共に、記憶プログラムを実行する。出力装置 6は、例えば表示装置とプリン夕であり、記憶した実体データと記憶プログラムの実行結果を出力するようになっている。

図 8は、本発明の交点計算方法とそのプログラムのフロー図である。この図に示すように、本発明の交点計算方法とそのプログラムは、座標系設定ステップ

(A) 、変換マトリックス計算ステップ（B) 、線分端座標演算ステップ（C) 、交差判断ステップ（D) 、交点座標演算ステップ（E) 、及び交点判断ステップ

(F) からなる。

本発明の交点計算方法は、 P₀, P i, P₂を 3頂点とする三角形と、 A， Bを結ぶ線分との交点を計算する方法であり、本発明のプログラムは、コンピュータに、 P₀, P _lt P₂を 3頂点とする三角形と、 A, Bを結ぶ線分との交点を計算させるためプログラムである。

座標系設定ステップ（A) では、 P。を原点、 P。P iを第一軸（U軸）の単位長さ、 P。P₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 PoP t XPoP zの単位ベクトルを第三軸（N軸）とする座標系 Rを設定する。

変換マトリックス計算ステップ（B) では、通常の座標系での点の座標を座標系 Rの座標値に変換する変換マトリックス Mを計算する。線分端座標演算ステップ（C) では、線分の両端 A, Bの u, v， n座標値を演算する。

交差判断ステップ（D) では、両端 A， Bの u, V , n座標値から三角形との交差の有無を判断する。

交点座標演算ステップ（E) では、交差する場合にその交点の u, V座標値を演算する。交点判断ステップ（F) では、交点の u, V座標値から三角形内の交点の有無を判断する。

以下、本発明を詳細に説明する。

1. ボリューム CADの開発において、入力としての表面形状に多用される三角形パッチと線分（セル稜線）との交点計算を繰り返し行う。三角形と線分との交点計算は平面と直線との交点計算の後、直線上の有効領域にあるか、平面上の有効領域にあるかという内外判定を行うこととなり、べクトル演算を多用するため計算負荷が高くなる。例えば、入力の三角形パッチ群は 1種で有るのに対し、 V-C ADなどのポリュームデータ（三次元の広がり全体を表現するデータ、 C Tや MR I、ボリュームレンダリング用のデータなど）に変換する際に、分割数や分解能を変更したり、 O c t r e e化、多重ポクセル化などの階層性を持つ格子データに変換したりするケースでは、 1つのサーフェスデータに対して格子の稜線との交点計算が同時に、或いは繰り返し、大量に行われることになる。従つて、以下に述べる従来技術では効率が悪く、大幅な効率化を達成できる手法が必要となる。また、ポリューム CADに限らずとも、情報量の豊富さから今後ポリユームデ一夕が幅広く流通されると予想されるが、そのような場面においても、処理や制御のしゃすさから三角形パッチとボリュ一ムデ一夕の併用が必要となり，その際に本発明の技術は不可欠となる。

本発明では入力データをコンピュータ上での形状表示などに一般に利用されている A f f i n e変換マトリックスに変換しておくことで、交点計算および内外判定を高速に、かつ安定して行える。特に同一の三角形に対して繰り返し交点計算を行う場合には、以前に作成した三角形固有のマトリックスを再利用することで、計算コストの大幅な低減が可能となる。例えば、機械部品などでは、平面で構成される面が多く、入力の表面形状として使われる三角形は大きなものが多い。その結果、同じ三角形とセル稜線との交点計算が多数回行われるため、本発明の利点が際立つこととなる。

2. 本発明では、図 9に示すように、三角形の 2辺を第一軸、第二軸、法線べクトルを第三軸とし、第一軸と第二軸に共通する頂点を原点とする空間座標系 Rを設定する。

正規直交座標系と上記座標系の変換を行うために、計算機上での画像表示などに利用される A f f i n e変換マトリックスを計算し、三角形との対応付けを行ラ。

交点計算を行う線分の両端の座標を上記マトリックスにより空間座標系 Rに変換し、それらの値から、交点の有無や交点の三角形に対する内外判定、ならびに交点の座標計算を行う。

上記のような手段を用いることにより、以下の利点が発生する。

( 1) 既存の手段では、 2段階で行われていた交点の計算と内外判定を一段階で行えることとなり、記憶容量の増加を必要とせず、高速に計算できる。

(2) 同一の三角形に対して多数の線分との交点計算を行う際に、予め準備された幾何量を利用することで計算コストが低く抑えられる。

(3) 座標変換と点の内分という簡易なアルゴリズムであるため、実装が容易である。

(4) 座標変換の結果に符合付距離を含むため、 Vo 1 umeデータの属性データとしての元曲面からの距離の計算や、面の表裏方向の確認に利用することがでさる。

3. 図 1 0は、本発明による処理方法を具体的に示すフロチャートである。この図において、 P ₀, P L P ₂を 3頂点とする入力三角形の 3次元座標データを入力し、これから、上述した座標系設定ステップ（A) において、 P。を原点、 PoP iを第一軸（U軸）の単位長さ、 P_QP₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 P oPiX PoPzの単位ベクトルを第三軸（N軸）とする座標系 Rを設定する。次に、 S 1において、三角形に応じた座標系 Rに対応するマトリックスを算出する。このステップは、上述した変換マトリックス計算ステップ（B) に相当する。次に、 S 2において、交差計算対象線分の両端 A, Bの uv座標、符号付距離を A f f i n e変換演算により求める。このステップは、上述した線分端座標演算ステップ（C) に相当する。

次に、 S 3において、符号付距離と u V座標により、三角形との交差の有無を判断する。このステップは、上述した交差判断ステップ（D) に相当する。

次に、 S 4において、交点を計算する。このステップは、上述した交点座標演算ステップ（E) に相当する。

次に、 S 5において、 UV値から三角形内の交点の有無を判断する。このステップは、上述した交点判断ステップ（F) に相当する。

4. 1 以下、計算フローの詳細を説明する。

4. 1. 1 三角形に応じた座標系と対応するマトリックス

図 9に示すように、三角形の頂点を Po, P !, P₂とした時に、 P。を原点、 PoP iを第一軸（U軸）の単位長さ、 P。P₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 P oPiX PaPzの単位べクトルを第三軸（N軸）とするような座標系 Rを考える。通常の直交座標系での点の座標をこの座標系での座標値に変換するマトリックスを Mとすると、

P_UVN = MP_xyz · · · (8)

の式で変換された座標値は三角形によって定まる座標表面上の UV値と、三角形からの符合付距離がそれぞれ u， V, n座標として計算される。

これにより、任意の点の三角形に対する位置関係（符号付距離、三角形上に垂直投影できるか否か）などが計算でき、また同一の三角形に対して多数回の交点計算を行う際には、行列をそのまま利用できるので、計算負荷の低減が可能となる。その結果、より高速な交点計算が可能となる。

この変換マトリックスは、スケーリング、回転、座標軸の変形、平行移動を含むため、 4 X 4の通常、 CGの表示などに利用されている A f f i n e変換とよばれる変換マトリックスを使用する。

スケーリングマトリックス、平行移動のマトリックスについては、各軸方向の縮尺を X S c a l e, yS c a l e, Z s c a 1 e, 平行移動べクトルを（xM ove, y M o v e , zMove) として、 [数 5] の式（9) (10) のように表すことができる。

また、回転および座標軸変形のマトリックスについては、 u v n座標系での各軸方向の単位べクトルがそれぞれ V c l e, V e c 2, V e c Nとなることから、各べクトルの成分を（vx l, V y 1 , v z l) 、 ( v x 1 , v y l， v z l) 、

(ν χη, vy n, ν ζ η) として、 [数 4] の式（ 1 1) のように表現できる。これらを統合して [数 5] の式（12) と計算する。

【数 5】

\xScale 0 0 01 1 0 0 0

0 yScale 0 0 0 1 0 0

Μ scale

0 0 zScale 0 0 0 1 0 (9)

0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 xMove 1 0 0 -x₀

0 1 0 yMove 0 1 0

M—

0 0 1 zMove 0 0 1 (10)

0 0 0 1 0 0 0 1

M (12)

4. 1. 2 直線の両端点の座標変換（符号付距離、 u v座標の算出）

始点 ·終点の座標を上記のマトリックスで A f f i n e変換する。

但し、 A f f i n e変換の 4 X 4行列のうち、 1行目〜 3行目の 4カラム目は移動量であるので、掛け算の対象は必ず 1であり、また 4行目については、 1〜 3カラム目が 0. 4カラム目が 1. 4カラム目の掛け算の対象は 1であるので、かならず計算結果は 1となる。従って、汎用の行列計算用の計算でなく、 A f f i n e変換専用の計算を行えば、掛け算を必要とするのは、 1〜3行目、 1〜3 カラム目の 9回だけで済むことになり、より高速な計算が可能になる。 4. 1. 3 変換後の 2点の座標を見て、交点の有無を判断する。

• 片方の点の n座標が線分の長さ以上であれば交点無し、

• 2点の n座標が同符号であれば、交点無し異符号であれば交点あり

4. 1. 4 変換後の 2点の u座標、 V座標から、交点となりうる点と三角形との内外判定を行う。

• 2点とも、 u座標が 0以下または 1. 0以上の時、交点は三角形外

• 2点とも、 V座標が 0. 0以下の時、交点は三角形外

• 2点とも、 u座標 +v座標が 1. 0以上の時、交点は三角形外

上記の条件を元に実際の交点の値を求める以前に、明らかに三角形上に交点を持たない線分を除外する。

4. 1. 5 両端の n座標の値で内分した点を交点とし、 u v座標を求める。 4. 1. 6 交点の u座標、 V座標を以下の基準により、三角形との内外判定を行う。

三角形の内部にあるための条件は、 [数 6] の式（1 3) に示す 3項目となる。【数 6】

• 0≤ u ≤ 1 (Vecl方向の範囲）

• 0≤ V ≤ 1 (Vec2方向の範囲） · · · (13)

• 0 ≤ u+v≤ 1 (ΡιΡ2の線の内側 (Po伸 J))

4. 2 計算コストと計算結果 '

Mo 1 1 e rの手法と本発明の計算コス卜を比較する。

まず、 Mo 1 1 e rの手法では、 [数 7] の式（14) が 2回ずつでてくるので、それぞれベクトル P、 Qとして計算しておき、また割り算を行う部分も予め逆数を [数 7] の式（1 5) で計算しておく。

この場合、ベクトル Pの計算コストが掛け算 6回、ベクトル Qの計算コストが掛け算 6回であり、 tを求めるまでの計算コストは、それぞれベクトルともう一つのベクトルの内積計算、逆数計算と、逆数との掛け算で、掛け算が 1 9回、割り算が 1回となる。

uを求める為には、これに 4回の掛け算が追加され、 Vの計算にも 4回の掛け算が必要となる。

これに対して本発明の場合には、両端の符号付距離と u V値を求めるまでに 1 8回の掛け算が必要となる。両端の符号付距離が同符号であれば tく 0または t 〉1と同値であり、線分の有効範囲に交点が無いことが分かるので、この時点で掛け算 1回と割り算 1回の計算コストの節約となる。

交点の u V値を求めるためには、 [数 7] の式（16) といった計算が必要になるので、 u値を求めるまでに、 1回の割り算と 2回の掛け算、 V値を求めるまでに、さらに 2回の掛け算が必要になる。但し、始点 .終点の U値、 V値がともに 0未満であったり、 1以上であったり、 U値 + V値が 1以上の場合には、交点の U値、 V値の計算を行うことなく、交差しないという判定が可能である。

【数 7】

(14)

t = fabs(N_P (N_n-N_n))

U_int-U_POxt+U_nx(l-t) (16)

従って交点計算のステップとして、

S t e p 1 線分の有効区間での交差確認（ t V a 1 u e )

S t e p 2 交点の u値での有効/無効判定

S t e p 3 交点の v値での有効無効判定

といった手順を踏むとすると、各条件のもとでの交差を行うまでに、表 1に示すような計算コス卜がかかることが分かり、本発明の方が高い計算効率であることが分かる。【表 1】

4. 3 実施例

4. 3. 1 実施例 1

図 1 1に、外部データの取得から V- CADデータ作成までのフローを示す。図 1 1においては、上述した交点計算を行う前に、幾何形状（S-CADデ一夕、三角形パッチ）を各セルにマッピングする処理を行った。この処理を行うことにより、交差対象線分（セルの稜線）の候補を絞り込むことができるため、計算時間を短縮し、高速化を図ることが可能となる。マッピング処理を行わない場合は、全ての線分を探索しなくてはならず、計算時間がかかるため、本実施例のように交点計算前にマッピング処理を行うことが好ましい。

図 1 2〜 14は、図 1 1の処理を行った場合の表示画面を示している。すなわち、図 1 2は、 STEP (T 2) において入力する三角形の表示画面、図 1 3は、 S TE P (T 1 3 ) において作成された V- CADデータの表示画像である。図 14は、図 1 3の一部を拡大したものであり、入力データとセル稜線の交点計算により発生したセルの切断点が表示してある。

本発明により、ベンチマークでは最大 30 %程度の高速化が達成できた。

4. 3. 2 実施例 2

図 1 5は、本発明の手法を形状変形処理の際の干渉チェックに応用した場合のフローである。 STEP (U4) において、図 1 1の一連の処理を行う前の前処理として、交点計算（図 1 1の STEP (T 5) から（T l 1) の処理）を行い、自己干渉のチックを行った。その後、図 1 1の一連の処理を行うことによって（S TEP (U5) に相当）、変形後の形状を表示することができる。図 1 6にその表示画像を示す。

4. 3. 3 上述したように、本発明の三角形と線分の交点計算方法とそのプログラムは、同一の三角形に対して異なる複数の線分との交点を求める場合に、計算時間を短縮し高速化を図ることができる等の優れた効果を有する。

なお、本発明をいくつかの好ましい実施例により説明したが、本発明に包含される権利範囲は、これらの実施例に限定されないことが理解されよう。反対に、本発明の権利範囲は、添付の請求の範囲に含まれるすべての改良、修正及び均等物を含むものである。

Claims

請求の範囲

1. P o. P！, P₂を 3頂点とする三角形と、 A， Bを結ぶ線分との交点を計算する方法において、

P₀を原点、 PnP iを第一軸（U軸）の単位長さ、 P。P₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 P。 P X P。 P ₂の単位ベクトルを第三軸（N軸）とする座標系 R を設定する座標系設定ステップ（A) と、

通常の座標系での点の座標を座標系 Rの座標値に変換する変換マトリックス M を計算する変換マトリックス計算ステップ（B) と、

線分の両端 A， Bの u, v. n座標値を演算する線分端座標演算ステップ（C) と、

両端 A， Bの u， v， n座標値から三角形との交差の有無を判断する交差判断ステップ（D) と、

交差する場合にその交点の u， V座標値を演算する交点座標演算ステップ（E) と、

交点の u， V座標値から三角形内の交点の有無を判断する交点判断ステツプ (F) と、を備えることを特徴とする三角形と線分の交点計算方法。

2. 前記変換マトリックス計算ステップ（B) において、変換マトリックス Mは、 A f f i n e変換マトリックスである、ことを特徴とする請求項 1に記載の三角形と線分の交点計算方法。

3. 線分端座標演算ステップ（C) において、 u, V, n座標値を式（8) で求める、

P_UVN = MP_xyz · · · (8)

ことを特徴とする請求項 1に記載の三角形と線分の交点計算方法。

4. 交差判断ステップ（D) において、（1) 片方の点の n座標が線分の長さ以上であれば交点無しと判断し、及び Z又は、（2) 2点の n座標が同符号であれば交点なし、異符号であれば交点ありと判断する、ことを特徴とする請求項 1に記載の三角形と線分の交点計算方法。

5. 交差判断ステップ（D) において、（1) 2点とも u座標が 0以下又は 1以上、（2) 2点とも V座標が 0以下、又は（3) 2点とも u座標 + v座標が 1以上の場合、交点は三角形外と判断する、ことを特徵とする請求項 1に記載の三角形と線分の交点計算方法。

6. 交点座標演算ステップ（E) において、両端 A， Bの n座標の値で内分した点を交点とし、その u, V座標値を演算する、ことを特徴とする請求項 1 に記載の三角形と線分の交点計算方法。

7. 交点判断ステップ（F) において、交点の u, V座標値が、 [数 1] の式（1 3) を満たす場合に、三角形の内部と判断する、

【数 1】

- 0≤ u ≤ 1 (Vecl方向の範囲〉

• 0≤ V ≤ 1 <Vec2方向の範囲） · · · （13)

• 0≤ u+v≤ 1 (ΡιΡ2の線の内側 (Po使 J))

8. コンピュータに、 P ₀， P ₂を 3頂点とする三角形と、 A， Bを結ぶ線分との交点を計算させるためプログラムであって、

P ₀を原点、 P。P iを第一軸（U軸）の単位長さ、 P。P ₂を第二軸（V軸）の単位長さ、 P o P i X P o P zの単位ベクトルを第三軸（N軸）とする座標系 R を設定する座標系設定ステップ（A) と、

線分の両端 A， Bの u, V, n座標値を演算する線分端座標演算ステップ（C) と、

両端 A, Bの u, V, n座標値から三角形との交差の有無を判断する交差判断ステップ（D) と、

交差する場合にその交点の u, V座標値を演算する交点座標演算ステップ（E) と、

交点の u， V座標値から三角形内の交点の有無を判断する交点判断ステップ（F) と、を実行させるためのプログラム。