DE112006003728T5

DE112006003728T5 - Verfahren zum Simulieren eines deformierbaren Objekts unter Verwenden eines geometrisch motivierten Models

Info

Publication number: DE112006003728T5
Application number: DE112006003728T
Authority: DE
Inventors: Matthias Müller-Fischer; Bruno Heidelberger; Matthias Teschner; Markus Gross
Original assignee: Nvidia Corp
Current assignee: Nvidia Corp
Priority date: 2006-02-03
Filing date: 2006-07-21
Publication date: 2009-01-15
Also published as: US8886501B2; WO2007092037A2; GB0813908D0; JP2009529161A; WO2007092037A3; US20120232854A1; US8666713B2; CN101496028A; GB2449377B; US20120218271A1; US20100161297A1; GB2449377A; US20060265202A1; US7650266B2; US8190412B2

Abstract

Verfahren zum Modellieren eines deformierbaren Objekts, wobei das Verfahren aufweist:
Modellieren einer deformierbaren Elastizität für das Objekt durch Ziehen einer verformten Form in Richtung einer definierten Soll-Form.

Description

Diese Anmeldung beansprucht die Priorität der US-Provisional Anmeldung Nr. 60/678,815, eingereicht am 9. Mai 2005.
ALLGEMEINER STAND DER TECHNIK
1. Gebiet der Erfindung
Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung betreffen allgemein Verfahren zum Simulieren deformierbarer Objekte. Genauer gesagt, betreffen Ausführungsformen der Erfindung Verfahren zum Simulieren deformierbarer Objekte unter Verwendung eines geometrisch motivierten zugrunde liegenden Modells.
2. Beschreibung des Standes der Technik
Realistische Computersimulationen von Alltagsgegenständen wie zum Beispiel Bekleidung, Kunststoffen, elastischen Materialien und Gelenken können aufgrund der komplexen Art und Weise, in der sich diese Objekte im Allgemeinen in der Realität deformieren, außerordentlich schwierig zu erzeugen sein. Simulationen solcher "deformierbaren Objekte" müssen allgemein sowohl komplizierte geometrische Strukturelemente als auch Materialeigenschaften der Objekte berücksichtigen.
Eine gängige Technik, die zum Simulieren deformierbarer Objekte verwendet wird, erzeugt zuerst ein virtuelles Modell eines Objekts (zum Beispiel ein Gitternetz oder eine Punktwolke) und legt dann simulierte physische Kräfte wie zum Beispiel mechanische Spannung, Reibung, Schwerkraft, Druck usw. an die diskreten Punkte des virtuellen Modells an. Solche virtuellen Modelle sind schon zum Darstellen einer breiten Vielfalt von Materialien unter verschiedenen Bedingungen verwendet worden. Zum Beispiel haben Forscher virtuelle Modelle für Bekleidung, Kunststoff, Gummi und so weiter entwickelt. Außerdem haben Forscher auch virtuelle Modelle zum Simulieren komplexer, einmaliger Verhaltensweisen dieser Objekte entwickelt, wie zum Beispiel Zerbrechen und Schmelzen.
Zu den gängigeren Lösungsansätzen zum Simulieren deformierbarer Objekte gehören Finite-Differenz-Verfahren, Masse-Feder-Systeme, Grenzelementverfahren (boundary element methods), Finite-Element-Verfahren und implizite Oberflächen und gitternetzfreie Teilchensysteme.
Ungeachtet der Anzahl von Verfahren, die zum Simulieren deformierbarer Objekte entwickelt wurden, werden solche Verfahren selten in Anwendungen wie Computerspiele integriert. Zum Beispiel enthalten ein paar aktuelle Spiele Stoffmodelle mit einfachen Geometrien. Im Allgemeinen jedoch modellieren die meisten Anwendungen, die auf Personalcomputern (PCs) oder Spielekonsolen laufen, nur starre Körper oder Objekte. Mitunter werden einige starre Objekte kombiniert, um die Bewegung eines deformierbaren Objekts nachzuahmen, aber echte Simulationen deformierbarer Objekte sind selten.
Ein Grund, warum Simulationen deformierbarer Objekte selten in einer Anwendung wie zum Beispiel Computerspielen verwendet werden, ist, dass stabile Simulationen allgemein zu ineffizient sind, um den Echtzeitbedarf der Anwendung zu erfüllen. Zum Beispiel stützen sich herkömmliche Simulationsverfahren oft auf implizite numerische Integration, um die Positionen von diskreten Punkten in einem virtuellen Modell zu aktualisieren. Techniken der impliziten numerischen Integration können eine stabile Simulation ermöglichen, aber sie sind zu rechenaufwändig, um große und komplizierte physische Modelle in Echtzeit zu verarbeiten. Andere Lösungsansätze des physischen Modellierens stützen sich auf explizite numerische Integration, die effizienter ist, aber keine stabile Simulation garantieren kann.
Der Begriff "Stabilität" meint hier die Tendenz eines Prozesses, in einer vernünftigen Weise auf kleinere Abweichungen bei seinen Eingangswerten zu reagieren. Zum Beispiel erzeugen Techniken der impliziten numerischen Integration akkurate Simulationen, wenn verschiedene Eingangsparameter verändert werden, wie zum Beispiel die Masse von simulierten Punkten, der Zeitschritt der Integration und so weiter. Im Gegensatz dazu können Techniken der expliziten numerischen Integration Simulationen erzeugen, wo die Gesamtenergie eines Systems fälschlicherweise ansteigt, indem einfach der Zeitschritt der Integration, die Masse der simulierten Punkte oder die Steifigkeit eines simulierten Objekt verändert wird. Infolge dessen können Techniken der expliziten numerischen Integration extrem unrealistische Simulationsergebnisse erzeugen.
Es sind verschiedene Lösungsansätze entwickelt worden, um die Effizienz von stabilen Simulationstechniken zu verbessern. Zum Beispiel sind robuste Integrationsregimes mit großen Zeitschritten und Mehrauflösungsmodellen (multi resolution models) entwickelt worden. Außerdem sind Lösungsansätze für eine modale Analyse entwickelt worden, bei denen Genauigkeit für Effizienz gehandelt wird. Des Weiteren sind auch Verfahren verwendet worden, die eine vorberechnete Zustandsraumdynamik und vorberechnete Impulsreaktionsfunktionen enthalten, um die Effizienz von Simulationen zu verbessern. Und schließlich sind noch dynamische Modelle vorgestellt worden, die von globalen geometrischen Verformungen massiver Grundformen wie zum Beispiel Kugeln, Zylindern, Konen oder Super-Quadrics abgeleitet sind, um die Effizienz von stabilen Simulationstechniken zu verbessern.
1 ist ein Schaubild, das eine Möglichkeit veranschaulicht, wie Instabilität in Simulationen deformierbarer Objekte unter Verwendung einer expliziten numerischen Integration entsteht. In 1 ist ein einfaches eindimensionales deformierbares Objekt als ein Masse-Feder-System modelliert. Wie viele physisch motivierte Simulationen deformierbarer Objekte stützt sich das Masse-Feder-System auf Newtons zweites Bewegungsgesetz. Laut Newtons zweitem Bewegungsgesetz ist die durch eine effektive Kraft erzeugte Beschleunigung eines Objekts direkt proportional zur Größe der effektiven Kraft in der Richtung der effektiven Kraft und umgekehrt proportional zur Masse des Objekts. Bei deformierbaren Objekten wird mindestens ein Teil der effektiven Kraft an jedem beliebigen Punkt durch Verschiebung des Punktes aus einer Gleichgewichtsposition erzeugt. Die Verschiebung eines Punktes aus seiner Gleichgewichtsposition erzeugt potenzielle Energie, d. h. "Deformierungsenergie", was bewirkt, dass der Punkt in Richtung der Gleichgewichtsposition gezogen wird.
Wenden wir uns 1A zu, wo ein Masse-Feder-System 100 eine Feder 101 mit einer Ruhelänge I₀ und zwei Punktmassen 102 und 103, die beide eine Masse "m" besitzen, aufweist. Die Punktmasse 102 ist an einem Ursprung fixiert, und die Punktmasse 103 befindet sich zu einer Anfangszeit "t" bei x(t). Zu der Anfangszeit "t" ist der Betrag der Kraft an der Punktmasse 103 durch die Federgleichung f = –k(x(t) – I₀) definiert, wobei "k" die Federkonstante, oder "Steifigkeit", der Feder 101 ist. Konzeptuell zeigt die Federgleichung an, dass die Punktmasse 103 in Richtung einer Gleichgewichtsposition gezogen wird, bei der wobei x = I₀ ist.
Die Position der Punktmasse 103 wird durch ein modifiziertes Euler-Integrationsschema nach einem Zeitschritt "h" aktualisiert. Gemäß dem modifizierten Euler-Integrationsschema werden die Geschwindigkeit "v" und die Position "x" der Punktmasse 103 zum Zeitpunkt "t + h" unter Verwendung der folgenden Gleichungen (1) und (2) berechnet:
x(t + h) = x(t) + hv(t + h) (2)
Gleichung (1) verwendet einen expliziten Euler-Schritt, und Gleichung (2) verwendet einen impliziten Euler-Schritt.
Die Gleichungen (1) und (2) können als eine Systemmatrix "M" dargestellt werden, multipliziert mit einem Zustandsvektor [v(t), x(t)]^T, d. h.
wobei die Systemmatrix "E" durch die folgende Gleichung (3) definiert ist:
Die Systemmatrix "E" hat Eigenwerte e₀ und e₁, die durch die folgenden Gleichungen (4) und (5) dargestellt werden:
Da die Systemmatrix "E" ein diskretes System darstellt, darf der Spektralradius (spectral radius) der Systemmatrix "E", d. h. die maximale Größe der Eigenwerte e₀ und e₁, nicht größer als eins (1) sein, um die Stabilität des diskreten Systems zu gewährleisten. Die Größe des Eigenwertes e₀ konvergiert gegen 1, wobei |e₀| < 1 für h²k → ∞. Jedoch ist die Größe von e₁ nur kleiner als eins, wo der Zeitschritt "h" kleiner als
ist. Wenn der Zeitschritt "h" größer als
ist, so ist das System instabil. Dementsprechend ist das Integrationsschema, in dem die Gleichungen (1) und (2) verwendet werden, nur bedingt stabil.
Um die Instabilität des diskreten Systems, das durch die Systemmatrix "E" repräsentiert wird, weiter zu veranschaulichen, zeigt 1B das Ergebnis der Ausführung eines Integrationsschrittes, der mit v(t) = 0 beginnt. Der Integrationsschritt bewegt die Punktmasse 103 um eine Distanz
Wenn der Zeitschritt "h" oder die Steifigkeit "k" zu groß sind oder die Masse "m" zu klein ist, so bewegt sich die Punktmasse 103 über die Gleichgewichtsposition I₀ um eine Distanz hinaus, die größer als die Distanz zwischen x(t) und I₀ ist. Oder anders ausgedrückt: |x(t + h) – I₀| > |x(t) – I₀|. Infolge dessen nimmt die potenzielle Energie des Systems 100 nach dem Zeitschritt "h" zu. Da das System 100 zum Zeitpunkt "t" null kinetische Energie hatte, wird die Gesamtenergie (d. h. die kinetische plus die potenzielle Energie) des Systems fälschlicherweise nach dem Zeitschritt "h" erhöht.
Im Allgemeinen kann das Stabilitätsproblem expliziter Integrationsschemata folgendermaßen ausgedrückt werden: elastische Kräfte sind negative Gradienten der elastischen Energie. Als solches weisen elastische Kräfte zu Gleichgewichtspositionen. Explizite Schemen mögen die elastischen Kräfte ungenau skalieren, wenn die Verschiebungen der Punkte berechnet werden, wodurch bewirkt wird, dass sich die Punkte so weit über die Gleichgewichtspositionen hinaus bewegen, dass sie die Deformation und die Energie des Systems erhöhen, anstatt die Deformationsenergie beizubehalten oder zu verringern, was für die Stabilität erforderlich ist.
Eine Möglichkeit zur Lösung des Problems, dass sich die Punkte über die Gleichgewichtspositionen hinaus bewegen, besteht darin, die Verschiebung der Punkte so zu begrenzen, dass sie sich niemals über ihre jeweiligen Gleichgewichtspositionen hinaus bewegen. Zum Beispiel könnte in dem eindimensionalen Federbeispiel von 1 die Bewegung der Punktmasse 103 so begrenzt werden, dass sie sich nicht über die Gleichgewichtsposition x = I₀ hinaus bewegt. Ein Problem bei diesem Lösungsansatz ist, dass für viele Arten physischer Modelle Gleichgewichtspositionen nicht leicht für alle Punkte definiert werden. Zum Beispiel ist es schwierig, Gleichgewichtspositionen in massiven finiten Elementen oder geometrisch komplexen Gitternetzen zu definieren.
KURZDARSTELLUNG DER ERFINDUNG
Gemäß einer Ausführungsform der Erfindung weist ein Verfahren zum Modellieren eines deformierbaren Objekts das Modellieren einer deformierbaren Elastizität (deformable elasticity) für das Objekt durch Ziehen einer deformierten Form in Richtung einer definierten Soll-Form auf.
Gemäß einer weiteren Ausführungsform der Erfindung weist ein Verfahren zum Simulieren eines deformierbaren Objekts das Definieren von Positionen und Geschwindigkeiten für mehrere Punkte in einer deformierten Form und das Aktualisieren der Positionen und Geschwindigkeiten gemäß den Positionen von Punkten in einer Soll-Form auf.
Gemäß einer weiteren Ausführungsform der Erfindung weist ein Verfahren zum Beschreiben einer Objektdeformation in einer Simulation das Definieren elastischer Kräfte, die der Objektdeformation zugeordnet sind, im Verhältnis zu Distanzen zwischen Punkten in einer deformierten Form und Punkten in einer Soll-Form, das Auflösen der Objektdeformation in Richtung eines Gleichgewichts unter Verwendung eines expliziten Integrationsschemas und das Auflösen des expliziten Integrationsschemas durch punktweises Matchen einer Ursprungsform und der deformierten Form und anschließendes Ziehen von Punkten, die der deformierten Form entsprechen, in Richtung entsprechender Punkte in der Soll-Form.
KURZE BESCHREIBUNG DER ZEICHNUNGEN
Die Erfindung wird unten in Bezug auf verschiedene Ausführungsformen beschrieben, die in den begleitenden Zeichnungen veranschaulicht sind. In allen Zeichnungen bezeichnen gleiche Bezugszahlen gleiche beispielhafte Elemente, Komponenten oder Schritte. In den Zeichnungen ist Folgendes dargestellt:
1A und 1B sind Schaubilder eines herkömmlichen eindimensionalen Masse-Feder-Systems, das zum Simulieren eines deformierbaren Objekts verwendet wird.
2 ist ein Schaubild, das eine Simulation eines zweidimensionalen deformierbaren Objekts gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung veranschaulicht.
3 ist ein Flussdiagramm, das ein Verfahren zum Simulieren eines deformierbaren Objekts gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung veranschaulicht.
BESCHREIBUNG BEISPIELHAFTER AUSFÜHRUNGSFORMEN
Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung stellen verschiedene Verfahren zum Modellieren und Simulieren deformierbarer Objekte bereit. Diese Verfahren können problemlos auf ein weites Feld computerbezogener Anwendungen angewendet werden, wie zum Beispiel wissenschaftlicher Visualisierung, Computergrafik, computeranimierte Filme und Videospiele, um nur einige zu nennen.
Ausgewählte Ausführungsformen der Erfindung eignen sich besonders gut für Anwendungen, die ein hohes Maß an Berechnungseffizienz benötigen. Zum Beispiel sind einige Ausführungsformen der Erfindung zum Ausführen von Echtzeit-Simulationen an deformierbaren Objekten mit komplizierten Geometrien und/oder Materialeigenschaften unter Verwendung lediglich eines kleinen Teils der Datenverarbeitungsbandbreite eines Computers geeignet.
Videospiele sind eine Anwendung, die ein hohes Maß an Berechnungseffizienz erfordert. Zum Beispiel tendieren hochmoderne Videospiele dazu, eine Vielfalt an realistischen Effekten zu enthalten, wie zum Beispiel Charaktere und Objekte, die in Echtzeit mit ihrer Umgebung interagieren, als ob sie physikalischen Gesetzen unterlägen. Solche Charaktere und Objekte werden oft durch deformierbare Objekte gebildet, einschließlich beispielsweise Bekleidung, biegbare oder streckbare Materialien und so weiter.
Eine Simulation deformierbarer Objekte gemäß Ausführungsformen der Erfindung wird in der Regel ausgeführt, indem man eine Software-Anwendung auf einer Rechenplattform ablaufen lässt, die zumindest einen Mikroprozessor und einen Speicher enthält. Der Begriff "ablaufen" beschreibt hier jeden Prozess, in dem eine Hardware-Ressource, die mit einer Rechenplattform assoziiert ist, eine Operation unter der (direkten oder indirekten) Anleitung einer Software-Ressource ausführt.
Um ein deformierbares Objekt zu simulieren, empfängt die Software-Anwendung geometrische Daten und physikalische Daten, die eine Konfiguration des deformierbaren Objekts und alle äußeren Kräfte, die auf das Objekt einwirken, definieren. Die "Konfiguration" eines deformierbaren Objekts ist in weitem Sinne als eine Beschreibung aller physischen Attribute des Objekts selbst definiert, einschließlich beispielsweise der Positionen und Massen der diskreten Elemente, die das Objekt bilden (zum Beispiel Punkten, Oberflächen usw.), jede Verbindungsfähigkeit und Bewegung jener diskreten Elemente und so weiter.
Die Software-Anwendung simuliert das deformierbare Objekt mittels Aktualisierens der Konfiguration des Objekts auf der Grundlage innerer Kräfte des Objekts, wie zum Beispiel elastische Spannung, die Bewegung diskreter Elemente, aus denen das Objekt besteht, und irgendwelcher äußeren Kräfte, die auf das Objekt wirken, wie zum Beispiel Schwerkraft, Druck oder Reibung oder Aufprallkräfte bei Kollisionen mit anderen Objekten.
Die Rechenplattform weist in der Regel eine oder mehrere zentrale Verarbeitungseinheiten (CPUs) und einen oder mehrere Speicher auf. Der eine oder die mehreren Speicher speichern die Software-Anwendung und laden sie zur Ausführung in die eine oder die mehreren CPUs.
Eine Simulation deformierbarer Objekte mag auch mit mehr als einer Software-Anwendung ausgeführt werden. Zum Beispiel könnte die Simulation durch zwei Software-Anwendungen ausgeführt werden, die in zwei Ausführungsbefehlsfolgen in einer einzelnen CPU, in zwei verschiedenen Proessorkernen oder zwei verschiedenen CPUs ablaufen. Wenn die Simulation durch zwei Software-Anwendungen ausgeführt wird, so weist eine der Anwendungen allgemein eine Hauptanwendung auf, die die geometrischen und physikalischen Daten definiert, und die andere Anwendung weist allgemein eine Physik-Anwendung auf, die parallel zu der Hauptanwendung abläuft und die geometrischen und physikalischen Daten aktualisiert.
Verschiedene Rechenplattformen, die in der Lage sind, eine solche Simulation auszuführen, sind zum Beispiel in den US-Patentanmeldungen mit folgenden Seriennummern offenbart: 10/715,459 und 10/715,440, eingereicht am 19. November 2003, 10/815,721, eingereicht am 2. April 2004, 10/839,155, eingereicht am 6. Mai 2004, 10/982,791, eingereicht am 8. November 2004, und 10/988,588, eingereicht am 16. November 2004. Der Gegenstand dieser gemeinsam übertragenen, gleichzeitig anhängigen Patentanmeldungen wird hiermit durch Bezugnahme in den vorliegenden Text aufgenommen.
In dieser Beschreibung meint der Begriff "deformierbares Objekt" in weitem Sinne jede Zusammenstellung von Daten, die in der Lage ist, ein Objekt zu repräsentieren, das Elemente aufweist, die mit sich verändernden räumlichen Beziehungen angeordnet werden können. Zum Beispiel könnte ein deformierbares Objekt ein Gitternetz, eine Oberfläche oder einen Satz Punkte aufweisen. Ein deformierbares Objekt weist des Weiteren allgemein Parameter auf, die zu der Art und Weise in Beziehung stehen, in der sich das Objekt allgemein verformt. Zum Beispiel kann das deformierbare Objekt einen Zielzustand für jedes seiner Elemente sowie einen Steifigkeitsparameter aufweisen, der angibt, wie leicht sich jedes Element seinem Zielzustand nähert.
2 ist ein Schaubild, das ein Verfahren zum Modellieren und Simulieren eines deformierbaren Objekts gemäß einer Ausführungsform der Erfindung veranschaulicht. Zur Vereinfachung der Erläuterung wird das Verfahren von 2 mit Bezug auf ein zweidimensionales (2D-)Objekt beschrieben. Jedoch kann das Verfahren ohne Weiteres auch auf Objekte angewendet werden, das in höheren (zum Beispiel 3D) oder niedrigeren (zum Beispiel 1D) Dimensionen ausgedrückt ist.
Wenden wir uns 2 zu, wo ein deformierbares Objekt 200 durch eine "Ist-Form" 202, die einem deformierten Zustand des deformierbaren Objekts 200 entspricht, und eine "Soll-Form" 203, die einem nicht-deformierten Zustand des deformierbaren Objekts 200 entspricht, modelliert wird. Die Ist-Form 202 weist vier "Ist-Punkte" x₁, x₂, x₃ und x₄ auf und die Soll-Form 203 weist vier "Soll-Punkte" g₁, g₂, g₃ und g₄ auf, die jeweiligen Ist-Punkten x₁, x₂, x₃ und x₄ entsprechen. Die Ist-Punkte x₁, x₂, x₃ und x₄ sind durch jeweilige Massen "m₁", "m₂", "m₃" und "m₄" gekennzeichnet.
Die Soll-Form 203 wird durch Matchen einer "Ursprungsform" 201, die vier "Ursprungspunkte" x 0 / 1, x 0 / 2, x 0 / 3 und x 0 / 4 aufweist, mit entsprechenden Ist-Punkte x₁, x₂, x₃ und x₄ in der Ist-Form 202 definiert. Anders ausgedrückt: Die Soll-Form 203 ist eine gematchte Version der Ursprungsform 201. Der Begriff "matchen" meint hier einen Transformationsprozess, der in einer solchen Weise auf die Ursprungsform 201 angewendet wird, dass die Soll-Form 203 sich der Ist-Form 202 annähert. Wie noch erläutert wird, kann eine solche Transformation zum Beispiel eine lineare Transformation, eine Transformation höherer Ordnung (zum Beispiel quadratisch) oder eine Kombination davon aufweisen. Nachdem die Soll-Form 203 definiert wurde, wird nun die deformierbare Elastizität in dem deformierbaren Objekt 200 modelliert, indem die Ist-Punkte x₁, x₂, x₃ und x₄ in Richtung entsprechender Soll-Punkte g₁, g₂, g₃ und g₄ gezogen werden, wie durch Pfeile in 2 angedeutet.
In dieser schriftlichen Beschreibung werden die Bezeichnungen x 0 / i x_i und g_i verwendet, um Punkte und auch Positionen der Punkte zu bezeichnen. Zum Beispiel wird die Position eines Ist-Punktes x_i einfach als x_i bezeichnet.
Eine Möglichkeit des Matchen der Ursprungsform 201 mit der Ist-Form 202 ist das Drehen und Verschieben der Ursprungsform 201. Der Betrag der Drehung und Verschiebung kann durch Minimieren einer Distanz zwischen Punkten in der Soll-Form 203 und entsprechenden Punkten in der Ist-Form 202 ermittelt werden. Zum Beispiel könnten die Verschiebung und die Drehung so gewählt werden, dass eine gewichtete kleinste Quadrate Distanz zwischen entsprechenden Punkten in der Soll-Form 203 und der Ist-Form 202 minimiert wird. Die Entsprechungen zwischen Punkten in der Ursprungsform 201 und der Ist-Form 202 werden allgemein im Voraus definiert, zum Beispiel wenn die Ursprungsform 201 und die Ist-Form 202 zuerst definiert werden.
In 2 sind entsprechende Punkte mit den gleichen tiefgestellten Zahlen bezeichnet. Zum Beispiel korrespondiert der Ursprungspunkt x 0 / i mit den Ist- und Soll-Punkten x₁ und g₁. Dementsprechend kann die Konfiguration der Soll-Form 203 berechnet werden, indem man eine Drehungsmatrix R und Verschiebungsvektoren t₀ und t findet, dergestalt, dass die folgende Gleichung (5) minimiert wird:
In Gleichung (5) stellt w_i ein mathematisches Gewicht dar, das Ursprungs- und Ist-Punkten x 0 / i und x_i zugeordnet ist. In der Regel handelt es sich bei dem jedem Punkt zugeordneten Gewicht um die Masse des Punktes. Dementsprechend werden zur Vereinfachung dieser schriftlichen Beschreibung im gesamten Text Gewichte w_i durch Massen "m_i" ersetzt.
Wo das mathematische Gewicht w_i jedes Punktes in dem deformierbaren Objekt 200 die Masse des Punktes "m_i" ist, werden Verschiebungsvektoren t₀ und t als Masseschwerpunkte (center of mass) x 0 / cm und x_cm der Ursprungsform 201 und der Ist-Form 202 definiert, die durch die folgenden Gleichungen (6) und (7) definiert werden:
Um die Drehungsmatrix R zu berechnen, werden die relativen Positionen q_i und p_i der Punkte in der Ursprungsform 201 und der Ist-Form 202 als qi = x0i – x0cm und p_i = x_i – x_cm definiert. Dann wird eine lineare Transformationsmatrix "A", welche die folgende Gleichung (8) minimiert, berechnet: Σimi(Aqi – pi)2. (8)
Die lineare Transformationsmatrix "A", welche die Gleichung (8) minimiert, wird berechnet, indem man die Ableitung der Gleichung (8) mit Bezug auf "A" nimmt und die Ableitung auf null setzt. Die resultierende lineare Transformationsmatrix "A" wird durch die folgende Gleichung (9) berechnet:
Gleichung (9) definiert eine erste Matrix A_qq und eine zweite Matrix A_pq. Die erste Matrix A_qq ist symmetrisch, und darum enthält sie eine Skalierungskomponente, aber keine Drehungskomponente. Im Gegensatz dazu enthält die zweite Matrix A_pq sowohl eine symmetrische Komponente als auch eine Drehungskomponente. Die Drehungskomponente der zweiten Matrix A_pq ist die Drehmatrix R, und die symmetrische Komponente der zweiten Matrix A_pq ist eine symmetrische Matrix S. Die Drehmatrix R und die symmetrische Matrix S können gefunden werden, indem man die zweite Matrix A_pq mittels polarer Zerlegung zerlegt, was durch A_pq = RS dargestellt ist. Bei der polaren Zerlegung wird die symmetrische Matrix S berechnet als
und die Drehmatrix R wird berechnet als R = A_pqS^–1. Nachdem die Drehmatrix R definiert wurde, werden die Positionen der Soll-Punkte g₁, g₂, g₃ und g₄ durch die folgende Gleichung (10) berechnet: gi = R(x0i – x0cm ) + xcm. (10)
Dann werden nach der Berechnung der Positionen der Soll-Punkte g₁, g₂, g₃ und g₄ die Positionen der Ist-Punkte x₁, x₂, x₃ und x₄ durch Integration gemäß den folgenden Gleichungen (11) und (12) aktualisiert:
xi(t + h) = xi(t) + hvi(t + h) (12)
In den Gleichungen (11) und (12) stellt der Term α eine "Steifigkeit" des deformierbaren Objekts 200 dar. Der Term α reicht von null bis eins, wobei ein Wert α = 1 anzeigt, dass das deformierbare Objekt 200 starr ist, und ein Wert α = 0 anzeigt, dass das deformierbare Objekt 200 in hohem Grad deformierbar ist. Der Term f_{ext_l}(t) bezeichnet eine effektive äußere Kraft, die zum Zeitpunkt t auf einen Punkt "i" der Ist-Form 202 wirkt.
Um die Wirkung von α auf die Ist-Form 202 zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass α = 1 ist, die Anfangsgeschwindigkeit v(t) = 0 ist und die effektive äußere Kraft f_{ext_l}(t) = 0 ist. Unter diesen Bedingungen wird Gleichung (11) zu
berechnet, und Gleichung (12) wird zu x_i(t + h) = x_i(t) + g_i(t) – x_i(t) = g_i(t). Oder anders ausgedrückt: Wenn das deformierbare Objekt 200 starr ist, so tendiert die deformierbare Form 202 dazu, sich sehr rasch der Konfiguration der Soll-Form 203 anzunehmen. Wenn α < 1, so nähert sich die deformierbare Form 202 immer noch der Konfiguration der Soll-Form 203, nur langsamer.
Bei Anwenden der Gleichungen (11) und (12) auf das in 1 gezeigte Masse-Feder-System 100 werden die Geschwindigkeit und die Position der Punktmasse 103 gemäß der folgenden Gleichung (13) aktualisiert:
In Gleichung (13) stellt der Term
eine Systemmatrix dar, die der Systemmatrix "E" in Gleichung (3) ähnelt. Jedoch sind, im Gegensatz zu den Eigenwerten der Systemmatrix "E", die Größenordnungen der Eigenwerte des Terms
ungeachtet der jeweiligen Werte von α und des Zeitschritts h immer eins (1). Genauer gesagt, sind die Eigenwerte des Terms
als
definiert. Weil die Eigenwerte des Terms
immer gleich eins sind, ist eine Simulation des Masse-Feder-Systems 100 unter Verwendung der Gleichungen (11) und (12) unbedingt stabil. Darüber hinaus verursacht die Simulation unter Verwendung der Gleichungen (11) und (12) keine Dämpfung des Masse-Feder-Systems 100.
Eine dreidimensionale Simulation eines deformierbaren Objekts ohne äußere Kräfte ist unter Verwendung der Gleichungen (11) und (12) ebenfalls unbedingt stabil und ungedämpft. Darüber hinaus ist die Simulation ebenfalls unbedingt stabil, solange die auf ein deformierbares Objekt einwirkenden äußeren Kräfte, zum Beispiel Kräfte wie die Schwerkraft, mit Bezug auf die Position unverändert sind oder die äußeren Kräfte augenblicklich einwirken, zum Beispiel Kollisionsreaktionskräfte.
3 ist ein Flussdiagramm, das ein Verfahren zum Simulieren eines deformierbaren Objekts gemäß einer Ausführungsform der Erfindung veranschaulicht. In der folgenden Beschreibung sind beispielhafte Verfahrensschritte durch Klammern (XXX) bezeichnet.
Wenden wir uns 3 zu, wobei das Verfahren aufweist: Definieren einer Ist-Form, die einem deformierten Zustand des deformierbaren Objekts (301) darstellt, Definieren einer Soll-Form, die einem nicht-deformierten Zustand des deformierbaren Objekts (302) entspricht, und Aktualisieren der Position jedes Punktes in der Ist-Form durch Ziehen des Punktes in Richtung eines entsprechenden Punktes in der Soll-Form (303).
Positionen von Ist-Punkten in der Ist-Form werden allgemein durch Ereignisse in einer Software-Anwendung definiert, wie zum Beispiel Initialisierung und anschließende Aktualisierungen der Konfiguration der Ist-Form. Inzwischen können Positionen von Soll-Punkten in der Soll-Form auf vielfältige Weise berechnet werden.
Gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung werden die Positionen von Soll-Punkten g_i in der Soll-Form berechnet, indem eine Ursprungsform definiert wird, die Ursprungspunkte aufweist, und die Ursprungsform unter Verwendung eines Verschiebungsvektors und einer Drehmatrix, wie zum Beispiel durch Gleichung (10) beschrieben, gedreht und verschoben wird, bis sie mit der Ist-Form übereinstimmt.
Der Verschiebungsvektor wird allgemein anhand der jeweiligen Masseschwerpunkte der Ursprungs- und Ist-Formen berechnet, wie durch die Gleichungen (6) und (7) beschrieben, und die Drehmatrix wird allgemein durch polare Zerlegung einer linearen Transformationsmatrix berechnet, die gemäß Gleichung (9) berechnet wird.
Im Allgemeinen werden der Masseschwerpunkt x 0 / cm in Gleichung (10) und die relativen Positionen q_i in den Gleichungen (8) und (9) berechnet, bevor Zeitschritte der Simulation ausgeführt werden. Dann wird, bei jedem Zeitschritt der Simulation, die zweite Matrix Apq = ΣimiqTi assembliert (assembled). Wenn das simulierte deformierbare Objekt dreidimensional ist, so ist die zweite Matrix A_pq eine 3×3-Matrix.
Die zweite Matrix A_pq wird in die Drehmatrix "R" und die symmetrische Matrix "S" zerlegt, indem die symmetrische Matrix S als
und die Drehmatrix R als R = A_pqS^–1 berechnet wird. Der Term S^–1, d. h.
wird berechnet, indem die symmetrische Matrix A T / pqA_pq unter Verwendung von 5–10 Jacobi-Drehungen diagonalisiert wird, wobei die Berechnungskomplexität jeder Jacobi-Drehung konstant ist.
Gemäß einer weiteren Ausführungsform der Erfindung werden die Positionen der Soll-Punkte g_i durch eine lineare Transformation unter Verwendung der Drehmatrix "R" und der linearen Transformationsmatrix "A" gemäß der folgenden Gleichung (14) berechnet:
In Gleichung (14) ist der Term β ein Steuerparameter, der zum Steuern der Positionen von Soll-Punkten g_i verwendet wird. Die lineare Transformationsmatrix "A" wird durch ∛det(A) geteilt, um zu gewährleisten, dass das Volumen der Soll-Form relativ zu der Ursprungsform durch Gleichung (14) beibehalten wird. Die lineare Transformationsmatrix "A" wird allgemein aufgebaut, indem die erste Matrix A_qq gebildet wird, bevor irgendwelche Simulationszeitschritte ausgeführt werden, und dann die zweite Matrix A_pq mit jedem Zeitschritt gebildet wird.
Ein Vorteil des Verwendens von Gleichung (14) zum Berechnen der Positionen von Soll-Punkten g_i anstelle von Gleichung (10) ist, dass Gleichung (14) Soll-Punkte g_i erzeugen kann, die näher an den Positionen der Ist-Punkte x_i liegen. Dementsprechend eignet sich Gleichung (14) allgemein besser zum Simulieren stärker deformierter und/oder weniger starrer Objekte.
Eine weitere Möglichkeit des Berechnens von Soll-Punkten g_i ist das Ausführen einer quadratischen Transformation an den Ursprungspunkten. Zum Beispiel können Soll-Punkte g_i durch eine quadratische Transformation berechnet werden, die durch die folgende Gleichung (15) definiert wird: gi = [AQM]q ~i. (15)
In Gleichung (15) ist g_i ∊ R³ und q ~ = [qx, qy, qz, q2x , q2y , q2z , qxqy, qyqz, qzqx]T ∊ R9 . A ∊ R^3×3 enthält die Koeffizienten für die linearen Terme q_x, q_y, q_z; Q ∊ R^3×3 enthält die Koeffizienten für die rein quadratischen Terme q 2 / x, q 2 / y, q 2 / z, und M ∊ R^3×3 enthält die Koeffizienten für die gemischten Terme q_xq_y, q_yq_z, q_zq_x. Die quadratische Transformationsmatrix A ~ = [AQM] ∊ R3×9 minimiert vorzugsweise die Gleichung Σimi(A ~q ~i – pi)2 und wird durch die folgende Gleichung (16) berechnet: A ~ = (Σmipiq ~Ti )(Σmiq ~iq ~Ti ) = A ~pqA ~qq. (16)
Eine symmetrische Matrix A ~qq ∊ R9×9 und ein Vektor q ~_i in Gleichung (16) können berechnet werden, bevor eine Simulation beginnt. Des Weiteren kann der Steuerparameter β mit der quadratischen Transformationsmatrix A ~ verwendet werden, um die Positionen der Soll-Punkte zusätzlich zu steuern. Zum Beispiel könnten die Soll-Punkte durch die Gleichung gi = [βA ~ + (1 – β)R ~]q ~i , wobei R ~ ∊ R3×9 = [R 0 0] ist, anstatt unter Verwendung der Gleichung (15) erzeugt werden.
Eine weitere Möglichkeit der Berechnung von Soll-Punkten g_i besteht darin, Ist-Punkte x_i in überlappende Cluster zu teilen und dann eine separate Transformationsmatrix für jedes Cluster zu berechnen. Zum Beispiel können Ist-Punkte x_i, die durch ein volumetrisches Gitternetz dargestellt werden, in Clusters unterteilt werden, wobei jedes Cluster einem gemeinsamen Element des volumetrischen Gitternetzes (e. g. Tetraeder) benachbarte Punkte aufweist. Alternativ kann ein Gitternetz regelmäßig in überlappende kubische Regionen unterteilt werden, und dann kann ein Cluster mittels aller Punkte in jeder kubischen Region gebildet werden.
Bei jedem Zeitschritt werden ursprüngliche Punkte und Ist-Punkte, die jedem Cluster entsprechen, angepasst, um Soll-Punkte g c / i(t) zu erzeugen, wobei "i" den Index jedes Punktes bezeichnet und "c" ein bestimmtes Cluster bezeichnet. Unter Verwendung von Soll-Punkten g c / i(t) anstelle von Soll-Punkten g_i(t) wird die Gleichung (11) zu folgender Gleichung (17):
Ein allgemeines Problem mit der Geschwindigkeitsaktualisierung in den Gleichungen (11) und (17) ist, dass das Verhalten des Systems in hohem Maße von dem Zeitschritt "h" abhängt. Eine Möglichkeit der Lösung dieses Problems ist das Einstellen von α = h/τ, wobei τ ≤ h eine Zeitkonstante ist.
Es brauchen nicht alle Punkte einer Ist-Form oder einer Ursprungsform berücksichtigt zu werden, wenn eine Transformationsmatrix berechnet wird, um die Positionen von Soll-Punkten g_i zu definieren. Wenn zum Beispiel ein deformierbares Objekt eine große Anzahl von Punkten aufweist, so kann eine Teilmenge der Ist-Punkte und entsprechender ursprünglicher Punkte, die das deformierbare Objekt definieren, verwendet werden, um eine Transformationsmatrix zu erzeugen. Die Transformationsmatrix kann dann zum Transformieren aller Ursprungspunkte verwendet werden, um die Soll-Punkte zu erzeugen.
Das in Bezug auf 3 beschriebene Verfahren kann auch dafür verwendet werden, um plastisch deformierbare Objekte zu simulieren. In der Regel wird ein plastische deformierbares Objekt simuliert, indem ein Deformationszustand S^p für das Objekt dargestellt wird. Der Deformationszustand S^p wird mit der Einheitsmatrix "I" initialisiert und dann mit jedem Zeitschritt der Simulation aktualisiert.
Der Deformationszustand S^p wird auf der Grundlage der symmetrischen Matrix S aktualisiert, die durch die polare Zerlegung der zweiten Matrix A_pq von Gleichung (9) abgeleitet wird. Die symmetrische Matrix S stellt eine Deformations der Ursprungsform in einem nicht-gedrehten Bezugsrahmen dar. Dementsprechend wird, wenn ein Deformationsbetrag (d. h. eine Distanz) ∥S – I∥₂ einen Schwellenwert c_yield übersteigt, die Zustandsmatrix S^p gemäß der folgenden Gleichung (18) aktualisiert: Sp ← [I + hccreep(S – I)]Sp. (18)
In Gleichung (18) werden der Zeitschritt "h" und der Parameter c_creep verwendet, um die Plastizität des deformierbaren Objekts zu steuern. Die Plastizität kann abgegrenzt werden, indem man testet, ob ∥S^p – I∥₂ einen Schwellenwert c_max übersteigt. Wenn ∥S^P – I∥₂ > c_max, so wird die Zustandsmatrix durch die folgende Gleichung (19) gesetzt: Sp ← I + cmax(Sp – I)/∥Sp – I∥2. (19)
Die Zustandsmatrix S^p wird in die Simulation des deformierbaren Objekts integriert, indem die Definition von qi = x0i – x0cm in Gleichung (8) durch die folgende Gleichung (20) ersetzt wird: qi = Sp(x0i – x0cm ). (20)
Um zu gewährleisten, dass das Volumen des deformierbaren Objekts während der gesamten Simulation erhalten bleibt, wird die Zustandsmatrix S^p jedes Mal durch
geteilt, wenn sie aktualisiert wird. Es ist zu beachten, dass jedes Mal, wenn S^p aktualisiert wird, die erste und die zweite Matrix A_qq und A_pq ebenfalls aktualisiert werden müssen.
Die vorangegangenen bevorzugten Ausführungsformen sind Lehrbeispiele. Dem Durchschnittsfachmann leuchtet ein, dass verschiedene Änderungen in Form und Details an den beispielhaften Ausführungsformen vorgenommen werden können, ohne vom Geltungsbereich der vorliegenden Erfindung, wie er in den folgenden Ansprüchen definiert ist, abzuweichen.
Zusammenfassung
Ein Verfahren zum Simulieren eines deformierbaren Objekts weist das Modellieren einer deformierbaren Elastizität für das Objekt durch Definieren einer Ist-Form und einer Soll-Form und Ziehen von Punkten in der Soll-Form in Richtung korrespondierender Punkte in der Soll-Form auf.

Claims

Verfahren zum Modellieren eines deformierbaren Objekts, wobei das Verfahren aufweist: Modellieren einer deformierbaren Elastizität für das Objekt durch Ziehen einer verformten Form in Richtung einer definierten Soll-Form.
Verfahren gemäß Anspruch 1, welches ferner aufweist: Definieren der Soll-Form unter Verwendung einer erweiterten Formanpassungstechnik.
Verfahren gemäß Anspruch 2, welches ferner aufweist: Definieren relativer Positionen für Punkte in der deformierten Form und einer Ursprungsform; und Definieren der Soll-Form mittels Berechnens einer Transformation zwischen den relativen Positionen von Punkten in der Ursprungsform und relativen Positionen von Punkten in der deformierten Form.
Verfahren gemäß Anspruch 3, welches ferner aufweist: vor dem Berechnen der Transformation, Anwenden eines Deformationszustandes auf die relativen Positionen der Punkte in der Ursprungsform.
Verfahren gemäß Anspruch 4, welches ferner aufweist: Initialisieren des Deformationszustandes mit der Einheitsmatrix; und Aktualisieren des Verformungszustandes auf der Grundlage einer Deformation der Ursprungsform in einem nicht-gedrehten Bezugsrahmen.
Verfahren gemäß Anspruch 2, wobei das Definieren der Soll-Form unter Verwendung der erweiterten Formanpassungstechnik aufweist: Drehen und Verschieben einer Ursprungsform zum Definieren der Soll-Form.
Verfahren gemäß Anspruch 6, welches ferner aufweist: Definieren einer Drehmatrix und eines Verschiebungsvektors zum Drehen und Verschieben der Ursprungsform zum Minimieren einer Differenz der gewichteten kleinsten Quadrate zwischen der Soll-Form und der deformierten Form.
Verfahren gemäß Anspruch 7, welches ferner aufweist: Definieren der Drehmatrix durch Ausführen einer polaren Zerlegung an einer linearen Transformationsmatrix; und Definieren des Verschiebungsvektors durch Berechnen jeweiliger Masseschwerpunkte für die verformte Form und die Ursprungsform.
Verfahren gemäß Anspruch 1, welches ferner aufweist: Verändern der deformierbaren Elastizität gemäß einem linearen oder quadratischen Modus.
Verfahren gemäß Anspruch 9, wobei das Verändern der deformierbaren Elastizität gemäß dem linearen Modus aufweist: Anwenden einer linearen Transformation auf eine Ursprungsform zum Definieren der Soll-Form.
Verfahren gemäß Anspruch 9, wobei das Verändern der deformierbaren Elastizität gemäß dem quadratischen Modus aufweist: Anwenden einer quadratischen Transformation auf eine Ursprungsform zum Definieren der Soll-Form.
Verfahren gemäß Anspruch 1, welches ferner aufweist: Definieren der deformierten Form als eine Mehrzahl von Clustern.
Verfahren gemäß Anspruch 12, wobei das Modellieren einer deformierbaren Elastizität für das Objekt mittels Ziehens der deformierten Form in Richtung der definierten Soll-Form aufweist: Ziehen von Datenpunkten in jedem der Cluster in Richtung von Datenpunkten in korrespondierenden Clustern innerhalb der Soll-Form.
Verfahren zum Simulieren eines deformierbaren Objekts, wobei das Verfahren aufweist: Definieren von Positionen und Geschwindigkeiten für mehrere Punkte in einer deformierten Form; und Aktualisieren der Positionen und Geschwindigkeiten gemäß den Positionen von Punkten in einer Soll-Form.
Verfahren gemäß Anspruch 14, wobei das Aktualisieren der Positionen und Geschwindigkeiten aufweist: Definieren einer Geschwindigkeit eines Punktes in der deformierten Form zu einem Zeitpunkt t + h auf der Grundlage einer Geschwindigkeit des Punktes zu einem Zeitpunkt t und einer Differenz zwischen einer Position eines Soll-Punktes und einer Position des Punktes zu einem Zeitpunkt t; und Definieren einer Position des Punktes zum Zeitpunkt t + h auf der Grundlage einer Position des Punktes zum Zeitpunkt t und der Geschwindigkeit des Punktes zum Zeitpunkt t + h.
Verfahren zum Beschreiben einer Objektdeformation in einer Simulation, wobei das Verfahren aufweist: Definieren elastischer Kräfte, die mit der Objektdeformation assoziiert sind, im Verhältnis zu Abständen zwischen Punkten in einer deformierten Form und Punkten in einer Soll-Form; Auflösen der Objektdeformation in Richtung eines Gleichgewichts unter Verwendung eines expliziten Integrationsschemas; und Auflösen des expliziten Integrationsschemas durch punktweises Matchen einer Ursprungsform und der deformierten Form und anschließendes Ziehen von Punkten, die der deformierten Form entsprechen, in Richtung korrespondierender Punkte in der Soll-Form.
Verfahren gemäß Anspruch 16, wobei das punktweise Matchen der Ursprungsform und der deformierten Form aufweist: Auswählen eines Satzes von Punkten x 0 / i in der Ursprungsform und eines korrespondierenden Satzes von Punkten x_i in der deformierten Form; Finden einer Drehmatrix R und von Verschiebungsvektoren t und t₀ zum Minimieren: der Summe für alle "i" von (wi(R(x0i – t0) + t – xi)2 , wobei w_i Gewichte für jeden Punkt sind.
Verfahren gemäß Anspruch 17, welches ferner aufweist: für jeden Punkt x 0 / i, Definieren einer Position für einen korrespondierenden Punkt g_i in der Soll-Form als gi = R(x0i – x0cm ) + xcm , wobei x 0 / cm ein Masseschwerpunkt der Ursprungsform ist und x_cm ein Masseschwerpunkt der deformierten Form ist.
Verfahren gemäß Anspruch 17, welches ferner aufweist: für jeden Punkt x 0 / i, Definieren einer Position für einen korrespondierenden Punkt g_i in der Soll-Form als
wobei x 0 / cm ein Masseschwerpunkt der Ursprungsform ist, x_cm ein Masseschwerpunkt der deformierten Form ist, A eine lineare Transformationsmatrix ist und β ein Steuerparameter ist.
Verfahren gemäß Anspruch 17, welches ferner aufweist: für jeden Punkt x 0 / i 0, Definieren einer Position für einen korrespondierenden Punkt g_i in der Soll-Form als gi = Aq ~i , wobei A ~ eine quadratische Transformationsmatrix ist und q ~_i ein Vektor ist, der lineare, quadratische und gemischte Terme enthält.